De același autor
Ce reforma e aceea care priveaza o disciplina de istoria ei, de personalitatile care au marcat-o, de intrebarile fundamentale care au provocat-o, de contextul ei stiintific si cultural, de dinamica, de rostul sau miza ei de dincolo de utilizarea vulgara in rezolvarea de exercitii stereotipe, contabilicesti?
Asa cum e oferita de manuale, matematica umileste, supune, dreseaza, si, fatalmente, inrobeste mintea. In loc sa o elibereze, sa o faca supla, creatoare..jpg)
S-a vorbit mult despre minunata reforma in manualele de liceu. De fapt, manualele "alternative" nu sunt cu adevarat alternative. Ele nu difera decat prin culori si forma de redactare. In particular, manualele de matematici nu ofera optiuni in modul de predare, in viziunea despre matematica. Ele nu reformeaza ci instituie, in formate tipografice moderne, traditia de un secol a unui experiment pedagogic nefericit.
Reforma invatamantului nu se reduce la reforma manualelor, iar aceasta din urma nu e nici pe departe cel mai important lucru. E nevoie de o reforma a obiectivelor invatamantului si, lucrul cel mai important, o reforma in pregatirea profesorilor. Insa discutarea problemelor manualelor de matematica ne duce catre identificarea problemelor invatamantului romanesc in general, cu tarele si prejudecatile lui. Problemele manualelor de matematica sunt, de fapt, problemele manualelor tuturor disciplinelor.
Arat aici ca toate aceste reforme, introduse mai intai sub influenta manualelor occidentale, mai cu seama a celor franceze, apoi "sub imperativele" pedagogice sovietice, continuate de scoala romaneasca de matematici, poarta caracteristici comune. Exista o continuitate a lor in sensul abstractizarii, al formalizarii si izolarii matematicii de istoria ei si de stiintele empirice, toate vizand un acelasi obiectiv didactic - acumularea de informatie, sub forma de definitii, teoreme, demonstratii, si automatizarea procesului de rezolvare a problemelor. Toate acestea in dauna intelegerii matematicii. Reformele de dupa ’89 nu aduc decat calitate in redactare, aliniindu-se cuminti in traditia impusa in urma cu un secol.
O scurta trecere in revista a unor momente semnificative din istoria predarii matematicii este relevanta.
Sa se revizuiasca, dar...
In 1870 apare in traducere, in editia a II-a, Cursu elementaru de algebra al lui Franz Mocnik. In 1900, B. Ionescu publica Tratatul de algebra elementara pentru Scolele secundare dupa noua programa. Inspirata de manualele franceze, lucrarea urmareste claritate si rigoarea demonstratiilor si calitatea redactarii. Ca obiective pedagogice sunt vizate "fixarea teoriilor", incurajarea rezolvarii a "cat de multe exercitii", precum si pregatirea viitorilor studenti in matematici. In acelasi an apare, ca alternativ, manualul de algebra elementara al lui Al. Manicatide. "Revazut si completat in conformitate cu noua programa", acesta contine operatii algebrice, ecuatii de gradul intai si doi, progresii si logaritmi, precum si un capitol de matematici aplicate in economie. Manualul nu prea difera de cel al lui Fr. Mocnik. Remarc o nota istorica de mai putin de o pagina despre "Origina si scopul Algebrei". Manualul avea sa se impuna, fiind reeditat, revizuit, pana in anii ’40. In 1941 apare versiunea lui N. Abramescu a acestui manual. "Conform noilor programe", desigur, lucrarea isi propune sa aduca un spor de claritate si simplitate a demonstratiilor, pornind tocmai de la constatarea ca "elevii asimileaza cu greu cunostintele matematice, ramanand cu impresia neplacuta pentru acest studiu". Notele istorice sunt la fel de sarace si se elimina capitolul de matematici aplicate in economie. In 1950, apare nesemnat, probabil tradus din rusa, "manualul unic" de algebra, unde se renunta complet la trimiterile istorice. Ca noutate, se introduce analiza combinatorie.
Un alt moment semnificativ in aceasta istorie este anul 1974, in care, semnat de C. Iacob, este publicat Elemente de analiza matematica, pentru anul IV de liceu, fostul Elemente de analiza matematica si mecanica din 1968. Rezultat al "restructurarii programei analitice", lucrarea consfinteste ruptura pedagogica dintre matematica si stiintele fizice; aceasta e necesara, pretinde autorul, deoarece "consideratiile propriu-zise de mecanica ... ar trebui sa formeze obiectul unei discipline separate".
Simptom
De fapt, asa-zisa reforma de acum ramane in cadrul tendintelor de reforma definite cu zeci de ani in urma, mai intai sub influenta manualelor franceze, apoi "in lumina noilor cerinte" ale invatamantului sovietic. Identific patru simptome ale acestei paradigme in metodica predarii matematicii: (a) anistoricizarea, scoaterea matematicii din contextul ei istoric; de aici, falsa idee dupa care matematica e un corp imuabil, definitiv de cunostinte; (b) izolarea disciplinara, ruperea matematicii de raporturile ei cu stiintele empirice, indeosebi fizica; de aici, ideea falsa dupa care matematica a evoluat izolata si este, in fapt, izolata de stiintele naturii; legat de asta, (c) abstractizarea si formalizarea matematicii; de aici, ideea ca numai asa este posibila matematica si ca asta e unica forma acceptabila de a face si preda matematica; (d) mecanicizarea procesului de rezolvare a problemelor ca principal obiectiv didactic; in sensul acestuia, cu cat rezolvi mai mult si mai repede, cu atat esti mai bun la matematica. Nu trebuie sa-ti pui intrebari, nu trebuie sa cauti, pentru ca nu e nimic de cautat si de descoperit. Nu trebuie sa ai nelinisti. Doar sa performezi in cantitate si viteza.
Matematica jefuita de istorie
In ce priveste privarea matematicii de istoria ei, trebuie spus ca matematica, precum oricare alta disciplina, nu e un corp definitiv de cunostinte. Despre nici o stiinta nu se poate spune ca a ajuns sau va ajunge la un moment dat la o forma definitiva, intr-o etapa in care nu va mai suferi modificari. Or, in manualele de scoala, matematica e prezentata ca un dat: cunostintele de acolo au aparut subit, ramurile matematice sunt o creatie spontana, din nimic, de la sine. De fapt, matematica are o istorie, iar aceasta istorie nu e deloc liniara. Matematica a trecut prin crize, traseul ei a avut sincope, ocoluri sau pasi inapoi. Mai mult, in aceasta istorie, matematica nu a fost singura si nici nu a avut aceeasi forma. Matematica a fost si este, in egala masura, speculatie filosofica, stiinta empirica, disciplina logic-formala. Aceste laturi distincte au influentat-o, au nuantat-o si au imbogatit-o in istoria ei.
Putem spune, deci, ca istoria matematicii e si istoria filosofiei precum si istoria fizicii. Mai mult, istoria matematicii, prin cei care au facut-o, e si istoria culturii. Pentru ca marii matematicieni fac parte din marile curente de idei, iar marile teorii matematice urmeaza traiectorii definite mai intai in cultura. Geometriile neeuclidiene, structuralismul, teoria multimilor, calculul diferential si integral, de pilda, arata acest lucru.
Filosofi ai stiintei, precum A. Jaffe(1), arata ca asemanarile dintre matematica si fizica sunt mai mari decat par la prima vedere. Ca in fizica, in matematica demonstratia nu poate fi niciodata absoluta, astfel incat ideea perfectiunii demonstratiei matematice este un mit. In acelasi sens, N.D. Goodman(2) considera ca trebuie recunoscuta componenta empirica substantiala a cunoasterii matematice. Trebuie depasita, pretinde el, distinctia traditionala dintre logica si matematica, pe de o parte, si dintre stiintele naturii si matematica, pe de alta parte.
Mecanicizarea matematicii
Intr-un faimos articol(3) publicat in 1970, R. Thom explica socul creat de schimbarile produse in anii ’60 in programele scolare de matematica. Frapante similaritatile cu ceea ce s-a intamplat in invatamantul romanesc: "Odata cu modernizarea programelor, matematicile «moderne» si-au facut loc in viata familiala. Parintii - deveniti incapabili sa-si ajute progeniturile - s-au nelinistit: nemairecunoscand in vocabularul copiilor lor vechile notiuni familiare, ei se simteau pierduti in fata noii terminologii. Perplecsi, ei s-au trezit confruntati cu un nou simptom al rupturii dintre generatii; astfel, ei au adoptat o atitudine de impotrivire sistematica fata de nou. Altii, printre care numerosi profesori, dimpotriva, au acceptat cu entuziasm noile programe, noile notiuni, noile simboluri. Ce ar trebui sa intelegem de aici?", se intreaba retoric Thom.
Intre schimbarile aparute in noile programe, Thom retine introducerea teoriei elementare a multimilor, a unor notiuni de algebra superioara, precum legi de compozitie, grup, inel, corp, a notiunilor fundamentale ale calculului diferential si integral, functiile derivate si cele primitive, functiile logaritm, exponentiala. Pe de alta parte, sunt eliminate geometria euclidiana traditionala, in particular geometria triunghiului. Remarc tendinta de algebrizare, formalizare, abstractizare excesiva, in dauna geometriei, a "figurativului", a reprezentarii vizuale, intuitive. Abstractul inlocuieste concretul, vizualul. Formalul inlatura intuitivul.
Doua sunt, comenteaza Thom, argumentele pentru eliminarea geometriei euclidiene clasice. Primul e unul teoretic: proiectele de formalizare a geometriei initiate de Hilbert au aratat ca pretinsa rigoare a geometriei traditionale e in mare masura iluzorie datorita apelului excesiv la intuitie in definirea notiunilor fundamentale. Or, aceasta ambiguitate poate fi evitata tocmai prin formalizare. Al doilea argument e unul practic: geometria euclidiana si, mai cu seama, dezvoltarile date geometriei triunghiului sunt inutile elevilor.
Ambele argumente sunt, dupa Thom, false. Intai, e evident ca in matematica actuala utilizarea algebrei ca instrument de demonstratie este esentiala. Insa e de vazut daca nevoile matematicienilor profesionisti trebuie luate in considerare la nivelul invatamantului secundar. In spirit formalist, matematicienii de azi au tendinta de a introduce in invatamantul secundar teorii si structuri algebrice utile in propriile lor cercetari si care au avut succes in comunitatea stiintifica. E discutabil, totusi, daca aceste descoperiri tehnice au o valoare pedagogica si merita asimilate de programele de la nivel secundar.
In ce priveste utilitatea matematicii eliminate, Thom considera ca trebuie avut in vedere faptul ca unul din scopurile invatamantului este de a identifica si dezvolta aptitudinile elevilor. Dar acest lucru este imposibil intr-o disciplina ce nu presupune si elemente gratuite, inutile. "De fapt, pentru a aprecia pe deplin posibilitatile unui elev, trebuie sa-l aducem in postura in care e activ fara a mai primi informatie, trebuie sa apelam la spiritul sau de initiativa, la capacitatea sa de a intreprinde". Acest lucru nu e posibil cand operam cu teorii pur formale, strict "utile", ale caror elemente, stabilite de utilitatea lor, sunt predate dogmatic. Pentru ca singura virtute la care face apel o astfel de teorie este capacitatea de asimilare, memorare rapida si corecta a datelor. Pe de o parte, problema de algebra se reduce la un banal exercitiu de aplicare a unor reguli de calcul, urmarind o schema prestabilita. Dimpotriva, problema clasica de geometrie presupune o gama larga de dificultati, presupune imprevizibil, cerand efort si imaginatie. "Din acest punct de vedere, explica Thom, doar teoriile cu un caracter ludic au o valoare pedagogica, si, dintre toate, doar geometria euclidiana, ce se refera sistematic la un dat intuitiv subiacent, e cea mai putin gratuita, cea mai bogata in semnificatii. Asadar, tendinta actuala de a inlocui geometria cu algebra este pedagogic nefasta si trebuie schimbata".
In acelasi timp, observa Thom, se poate vorbi de o crestere substantiala a materiei predate in invatamantul secundar. Pe scurt, conchide el, "daca o programa merita calificativul de «dementiala», ea este tocmai aceea din matematica".
Riscul excesului de formalizare de dragul obiectivitatii este evidentiat limpede si de A. Dumitriu(4): "Intentionand sa dea o garantie de obiectivitate dincolo de obiect, se elimina insusi subiectul care gandeste obiectul din procesul gandirii. S-a ajuns astfel la un fel de credinta mistica in puterile intrinseci ale calculului, care, prin fascinatia care o exercita semnul si puterea lui calculatorie, poate sa devina, se crede, un aparat de gandit in el insusi, capabil sa inlocuiasca gandirea".
Reformele conserva miturile
Intr-o minunata conlucrare, toate schimbarile programelor analitice din ultima suta de ani conserva o multime de prejudecati despre matematica. Perpetuate, acestea ajung sa se statorniceasca, nemaifiind puse la indoiala de nici un autor de manuale. Ele devin mituri.
R. Hersh(5) identifica patru mituri majore ale matematicii: unitatea, dupa care matematica este un intreg unic, inseparabil; obiectivitatea, ideea ca adevarul si cunoasterea matematice sunt independente de subiect; universalitatea, principiul conform caruia matematica, in forma in care o cunoastem, este singura matematica ce poate exista; certitudinea, dupa care metodele de demonstratie ale matematicii duc in mod necesar la adevarul concluziilor. Nu neaparat false, dar nici autoevidente, aceste premise dau matematicii chipul vizibil, cel cunoscut de catre publicul larg. In spatele acestei masti, practicienii stiu ca, in realitate, matematica arata complet diferit. Ei stiu ca toate cele patru idei pot fi, uneori, puse la indoiala, ba chiar respinse.
J.R. Brown(6), la randu-i, sustine ca matematica nu este infailibila, nici o teorema nefiind imuna la schimbari. Mai mult, istoria matematicii nu este cumulativa si continua ci, dimpotriva, intrerupta de revizuiri, de schimbari conceptuale, de redefiniri ale notiunilor fundamentale.
Interesant, mitul certitudinii genereaza ideea, riscanta din punct de vedere pedagogic, dupa care matematica e doar un instrumentar de rezolvare a problemelor. Matematica, ne sugereaza manualele, e un simplu tablou transparent al unor rezultate neproblematice. Matematica e o simpla gazeta de perete a unor rezultate definitive. Manualele lipsesc matematica de gandirea din spatele ei: problemele nerezolvate, esecurile, nenumaratele deschideri neexplorate, intrebarile fara raspuns de la nivelul fundamentelor, precum problema adevarului, natura entitatilor matematice, a demonstratiei matematice, raportul cu stiintele empirice.
Ei bine, toate aceste prejudecati se regasesc, stau implicit la baza programelor analitice. Nici unul dintre manuale nu indrazneste sa interogheze, sa clatine imaginea traditionala a matematicii, sa creeze un pic de neliniste in mintea tanarului.
Diagnostic
In acest context, reforma manualelor e doar cantitativa, nu calitativa, doar formala, nu substantiala. Ea se multumeste sa subtieze manualele, oprindu-se la reducerea cantitatii de informatie oferite elevilor. Modificarea manualelor nu porneste de la o schimbare a obiectivelor pedagogice: trecerea de la exercitiul de memorare, de la exercitiul mecanicist de rezolvare a unor probleme standard, la intelegerea semnificatiilor modelelor matematice, la intelegerea utilitatii instrumentelor matematice, a rolului matematicii in alte discipline, la cultivarea imaginatiei si a creativitatii matematice in randul elevilor.
Ceea ce se preda in scoala drept matematica nu este matematica. Generatii intregi de elevi au terminat liceul crezand ca au invatat matematica. Cat se poate de fals. N-au facut decat sa-si insuseasca niste reguli de calcul si niste metode de rezolvare a catorva tipuri de probleme. E vorba, de fapt, de un soi de dresura intelectuala, de minti inrobite de canoane straine de nevoile lor si de realitate.
Atat din punctul de vedere al continutului cat, mai ales, din punctul de vedere al instrumentelor didactice, manualele de azi nu aduc mai nimic nou fata de manualele de acum o suta de ani. Manualele de azi nu spun nimic despre matematica de azi, despre inovatiile aduse in matematica in ultimii 150 de ani; manualele de matematica ofera o imagine unica si ingusta despre matematica. In realitate, nici macar nu mai putem vorbi de o matematica. Manualele nu spun nimic despre noile ramuri matematice aparute in ultimii o suta de ani. Manualele rup matematica de realitate: de cercetare, de aplicatiile ei, de legaturile cu disciplinele inrudite, precum logica sau fizica. Pe scurt, manualele de matematica nu predau matematica.
Mai departe, problemele manualelor de matematica sunt relevante pentru toate celelalte discipline. De pilda, separarea matematicii de fizica este semnul unei false dihotomii, aceea intre stiinte umane si stiinte exacte, ce a produs schizoidii generatii de-a randul. De aici, cultivarea unei ingradiri disciplinare, a unei lipse de comunicare intre discipline. In programele analitice, "materiile" nu comunica nici istoric nici interdisciplinar. Elevul nu intelege succesiunea logica a disciplinelor - presupunand ca autorii au urmarit o logica in succedarea acestora de-a lungul anilor de scoala. La sfarsitul scolii, elevii au doar mai multe cunostinte decat la inceput, nu si o alta imagine despre portia de realitate descrisa de o disciplina. Apoi, elevii nu constientizeaza faptul esential ca, la un nivel profund, toate disciplinele comunica. In fond, stiintele isi impart o aceeasi realitate. Disciplinele isi transfera cunostinte, intrebari, metodologii, moduri de sistematizare sau de constructie teoretica, directii de cercetare. Disciplinele se hranesc una din alta, se submineaza reciproc, se pun in discutie una pe cealalta. Ele comunica si, de fapt, sunt aspecte multicolore ale unuia si aceluiasi lucru: felul nostru de a fi in lume.
Se poate merge insa si mai departe. Consider ca este depasit invatamantul disciplinar. Asa cum sunt predate si expuse in manuale, disciplinele de scoala nu comunica intre ele, nu alcatuiesc un tot, un intreg. Manualele ofera o imagine fragmentata a lumii in care traim. Invatamantul disciplinar e un puzzle cu piese care nu se imbina. Un astfel de invatamant fragmenteaza si sparge realitatea pana intr-atat incat ea nu mai poate fi reconstituita nici de catre profesor, nici de catre elev. Absolventul acestui tip de invatamant nu mai poate avea o imagine rotunda, intreaga despre lumea in care traieste. St. Lupascu(7) prinde minunat aceasta idee: "Ceea ce am dori de la civilizatia contemporana este acea asociere intima, in care au excelat grecii, intre filosofie si stiinte. Ar trebui modificat in acest sens invatamantul, mai ales spiritul educatorilor care predau fie stiintele, fie filosofia, ba chiar sufletul oamenilor".
Astazi nu se mai gandeste in discipline. Imaginea de azi despre lume nu mai e alcatuita din fragmente, precum matematica, fizica, economie etc. Cunoasterea de azi este inter- sau transdisciplinara. Trebuie sa se renunte la predarea dupa discipline si sa se caute un alt concept de predare. Unul pragmatic si vocational. Care sa tina seama de ce se intampla acum in lume, de nevoile pietei, de nevoile spirituale si intelectuale ale celor de azi. Acestea trebuie sa fie premisele reformelor programelor scolare. Abia apoi urmeaza reforma institutiilor invatamantului. De la nevoi la obiective si mijloace, iar de aici la institutii. Asta e ordinea fireasca. Nu invers.
* Ii multumesc d-lui profesor universitar Ilie Parvu. In parte, ideile de aici s-au nascut si limpezit pe parcursul nenumaratelor noastre discutii. Evident, imi revine in intregime responsabilitatea pentru continutul acestui articol.
1. Arthur Jaffe, Proof and the Evolution of Mathematics, Synthese 111, 1997
2. Nicolas D. Goodman, Modernizing the Philosophy of Mathematics, Synthese 88, 1991
3. René Thom, Les mathématiques "modernes": une erreur pédagogique et philosophique?, in Apologie du logos, Hachette, 1990
4. Anton Dumitriu, Mecanismul logic al matematicilor, Ed. Academiei, 1968
5. Reuben Hersh, Mathematics Has a Front and a Back, Synthese 88, 1991
6. James Robert Brown, Philosophy of Mathematics, Routledge, 1999
7. Stefan Lupascu, Experienta microfizica si gandirea umana, Ed. Stiintifica, 1992
